The Milne Problem for the Radiative Transfer Equations (with Frequency Dependence)

We study the following stationary frequency dependent transport equation: p,dxf + o(v,T)[f-B„(T]\ =0, x>0, i/>0, p €]-!;!(, //. cr(u,T)[Bu(T)-f]du^=0, R+x]-l;l[ f(0,pt,i>)=0, u e]0;l[, where Bv is the well-known Planck function appearing in astrophysics. We are able to describe the asymptotic behavior of / and T for x large, when a(u, T) is of the special form o(u,T) = o(v)k(T). Our method relies mainly on the monotonicity of the nonlinearity. The proof does not use any linearization of the equation; in particular, no smallness assumption on the data tp (in any sense) is required. RÉSUMÉ. Nous étudions l'équation de transport stationnaire avec dépendance en fréquence: fidxf + a(u, T)[f BV(T)\ = 0, x > 0, v > 0, p. € ]-l; 1[, //. a(v,T)\Bv(T) f]dv^ =0, R+x]-l;l[ f(0,tt,u) = tp(tt,u); i/>0,aî€]0;1[. Lorsque a(v, T) est de la forme particulière c{u, T) = o{v)k(T), nous savons décrire le comportement asymptotique de / et T pour x grand. Notre méthode repose principalement sur la monotonie de la non-linéarité. La preuve n'utilise aucune linéarisation de l'équation; en particulier, nous n'avons besoin d'aucune hypothèse de petitesse (d'aucune sorte) sur la donnée ¡p.